Model Lotki-Volterry

WPROWADZENIE

Model Lotki-Volterry to klasyczne narzędzie w ekologii, służące do opisania dynamicznych relacji między dwiema populacjami: drapieżnika i ofiary. Model zakłada, że wzrost populacji ofiar jest hamowany przez obecność drapieżników, a wzrost populacji drapieżników zależy od dostępności pożywienia, czyli liczebności ofiar.

Podstawowe założenia modelu:

• Są dwie populacje: W modelu występują tylko dwie populacje: drapieżniki i ofiary.
• Brak innych czynników: Nie uwzględnia się innych czynników, takich jak konkurencja międzygatunkowa, choroby czy zmiany środowiskowe.
• Proste zależności: Wzrost populacji ofiar jest hamowany przez obecność drapieżników, a wzrost populacji drapieżników zależy od dostępności pożywienia, czyli liczebności ofiar.

Równania modelu:

Równania są różniczkowe, bo pokazują zmiany liczebności w czasie:
$$\frac{dx}{dt} = x(\alpha – \beta y)$$
$$\frac{dy}{dt} = y(\gamma x -\delta)$$
gdzie:
x – liczebność populacji ofiar
y – liczebność populacji drapieżników
t – czas
α – współczynnik wzrostu naturalnego populacji ofiar (w przypadku braku drapieżników)
β – współczynnik śmiertelności ofiar spowodowany drapieżnictwem
γ – współczynnik wzrostu populacji drapieżników zależny od ilości pożywienia
δ – współczynnik śmiertelności naturalnej populacji drapieżników (w przypadku braku pożywienia)

---

KOD W JĘZYKU PYTHON

Zobacz w Google Colaboratory

---

JAK DZIAŁA PROGRAM?

1. Definicja funkcji lotka_volterra:
   • Funkcja ta służy do symulacji modelu Lotki-Volterry, który opisuje dynamikę populacji dwóch gatunków: ofiar i drapieżników.
   • Przyjmuje ona następujące parametry:
     • alpha: Współczynnik wzrostu naturalnego populacji ofiar.
     • beta: Współczynnik śmiertelności ofiar spowodowany przez drapieżniki.
     • gamma: Współczynnik wzrostu populacji drapieżników zależny od ilości pożywienia (ofiar).
     • delta: Współczynnik śmiertelności naturalnej populacji drapieżników.
     • x0: Początkowa liczba ofiar.
     • y0: Początkowa liczba drapieżników.
     • t: Czas symulacji.
   • Wewnątrz funkcji zdefiniowano dt (krok czasowy) i obliczono n (liczbę kroków).
   • Tworzone są dwie tablice x i y, które przechowują odpowiednio populację ofiar i drapieżników w kolejnych krokach.
   • Pętle for symulują zmiany w populacjach w czasie, uwzględniając równania modelu.
   • Funkcja zwraca tablice x i y.
2. Ustawienie parametrów modelu:
   • Zdefiniowane są wartości dla parametrów alpha, beta, gamma, delta, x0, y0 i t.
   • Parametry te reprezentują współczynniki wzrostu i śmiertelności oraz początkowe populacje i czas symulacji.
3. Symulacja modelu:
   • Wywołanie funkcji lotka_volterra z ustalonymi parametrami.
   • Wynikiem są dwie tablice: x (populacja ofiar) i y (populacja drapieżników) w kolejnych krokach symulacji.
4. Tworzenie wykresu:
   • Użycie biblioteki matplotlib.pyplot do utworzenia wykresu.
   • plt.plot(x, label='Ofiary'): Rysuje linię reprezentującą populację ofiar w czasie.
   • plt.plot(y, label='Drapieżniki'): Rysuje linię reprezentującą populację drapieżników w czasie.
   • plt.xlabel('Czas'): Opis osi x (czas).
   • plt.ylabel('Liczba osobników'): Opis osi y (liczba osobników).
   • plt.legend(): Dodaje legendę, która identyfikuje, która linia reprezentuje ofiary, a która drapieżniki.
   • plt.show(): Wyświetla wykres.